素因数分解のやり方がわからないときは、整数を小さな素数で順番に割り、最後に素数だけの積で表す方法を覚えるのが近道です。中学数学で学ぶ素因数分解は、基本の手順さえ理解すれば、100のような簡単な数から大きな整数まで、同じ考え方で解けます。ただし、途中で割るのをやめてしまったり、素数ではない数を残したりすると、答えが正しくても素因数分解としては不完全になるため注意が必要です。
文部科学省の「中学校学習指導要領解説 数学編」でも、自然数を素数の積で表すことは、約数や倍数などの整数の性質を理解し直す学習として位置づけられています。この記事では、素因数分解とは何かという基本から、短除法の書き方、素数の見分け方、最大公約数・最小公倍数への応用までを整理。例題と練習問題の答えを確認しながら、計算の正確さとスピードを身につける方法を解説します。
【基本を理解】素因数分解とは？素数の意味から確認
素因数分解のやり方を覚える前に、まず「素数」と「素因数分解」の意味を整理しておきましょう。用語を理解しておくと、なぜ割り算を繰り返すのか、どこまで計算すればよいのかが明確になります。
素因数分解とは、素数だけの掛け算に直すこと素因数分解とは、1より大きい自然数を素数の積で表すことです。例えば、12は2×6と表せますが、6は素数ではありません。そこで、さらに6を2×3に分解します。
12＝2×6＝2×2×3
2と3はいずれも素数なので、12の素因数分解は「2×2×3」です。同じ素数をまとめて累乗で表す場合は、次のようになります。
12＝2²×3
「2²」は2×2を意味します。素因数分解では、素数が何回掛けられているかを指数で表すと、式を短く整理できます。
素数とは？1や合成数との違い素数とは、1より大きい自然数のうち、1とその数自身以外に約数を持たない数です。例えば、2、3、5、7、11、13、17、19などが素数に該当します。
- 素数：約数が1とその数自身の2つだけ。例は2、3、5、7。
- 合成数：1とその数自身以外にも約数がある数。例は4、6、8、9、10。
- 1：素数でも合成数でもない。
特に間違えやすいのが1の扱いです。1は約数が1つしかないため、素数には含まれません。素因数分解の答えに1を掛けても数は変わりませんが、素因数分解では素数だけの積を表すため、1は書きません。
また、2は唯一の偶数の素数です。2以外の偶数はすべて2で割り切れるため、素数ではありません。この性質を覚えておくと、素因数分解を始めるときに役立ちます。
素因数分解の答えは一通りに決まる例えば、18は3×6から分解しても、2×9から分解しても、最終的には2×3×3になります。掛ける順番は異なっても、素数の種類と個数は変わりません。
文部科学省の学習指導要領解説でも、自然数を素数の積で表す方法は、素数を掛ける順序を除けば一通りに定まることが示されています。途中の分け方が違っていても、最後の素因数分解が一致すれば正解です。
【手順を図解】素因数分解のやり方は割り算の繰り返しが基本
素因数分解を簡単に解くには、2、3、5、7という小さな素数から順番に割っていく方法がおすすめです。特別な公式を暗記する必要はありません。次の3ステップを守れば、基本的な問題を解けるようになります。
ステップ1：最小の素数2で割れるか確認する最初に、分解したい数が2で割り切れるかを確認します。一の位が0、2、4、6、8のいずれかなら偶数なので、2で割れます。
例えば、60を素因数分解する場合、60÷2＝30です。30も偶数なので、もう一度2で割ります。
60→30→15
この段階で、60＝2×2×15と表せます。15は2で割れないため、次は3や5などの素数を試します。
ステップ2：商が素数になるまで割り続ける15は3で割り切れます。15÷3＝5となり、5は素数です。ここで計算を終了できます。
60＝2×2×3×5
これが60の素因数分解です。素数ではない商が出てきたら、さらに割ることがポイントです。例えば、商が9なら、9は素数ではないため、3×3に分解する必要があります。
ステップ3：素数を積で表し、累乗に整理する最後に、割り算で取り出した素数をすべて掛け合わせます。同じ素数が複数回登場した場合は、累乗でまとめると見やすくなります。
60＝2×2×3×5＝2²×3×5
このとき、右側に書いた素数を1つでも忘れると、掛け算の結果が元の数に戻らなくなります。答えを書いた後は、必ず逆算して確認しましょう。
例題：84を素因数分解してみよう84を2で割ると42、42をもう一度2で割ると21になります。21は2では割り切れないので、次は3で割ります。21÷3＝7となり、7は素数なので終了です。
84 │ 2
42 │ 2
21 │ 3
7 │ 7
1 │
右側の数をすべて掛け合わせると、2×2×3×7です。
答え：84＝2²×3×7
最後の商が1になるまで割り、右側の数がすべて素数になっていることを確認する。この2点が、短除法を使うときの基本です。
【短除法・連除法】100の例題で書き方と答えをマスター
素因数分解のやり方として、学校の問題集などでよく使われるのが短除法です。割り算を縦に並べていくため、途中の計算を見失いにくいという利点があります。
素因数分解100の答えは2²×5²100を素因数分解する場合、最初に2で割ります。100÷2＝50、50÷2＝25です。25は2では割れないので、次は5で割ります。
100 │ 2
50 │ 2
25 │ 5
5 │ 5
1 │
右側の数は2、2、5、5です。したがって、100＝2×2×5×5となります。同じ数を累乗にまとめれば、次の答えになります。
100＝2²×5²
100のように末尾が0の数は、2と5で割りやすいのが特徴です。10＝2×5なので、100＝10×10＝2²×5²と考えることもできます。ただし、ほかの数でも同じように簡単に分解できるとは限らないため、基本は短除法で確認するのがおすすめです。
短除法と連除法はどう違う？短除法は、1つの数を素数で順番に割り、素因数分解する際によく使われる書き方です。一方、連除法は、2つ以上の数を同時に割りながら共通する素因数などを整理する方法として、最大公約数や最小公倍数の計算で使われます。教材によって用語の扱いが異なる場合もありますが、基本となる考え方は共通しています。
まずは1つの数を最後まで分解できるようになり、その後に複数の数を同時に扱う方法へ進むと、混乱しにくくなります。
素因数分解の例題を比較して確認ここでは、よく出る整数の素因数分解を一覧で確認します。指数の付け方と、分解した素数をすべて掛けた結果が元の数になることに注目してください。
| 整数 | 素因数分解の答え | 確認ポイント |
|---|---|---|
| 12 | 2²×3 | 2が2個、3が1個 |
| 36 | 2²×3² | 2と3がそれぞれ2個 |
| 60 | 2²×3×5 | 2を2回割ってから3と5で割る |
| 84 | 2²×3×7 | 最後の素数は7 |
| 100 | 2²×5² | 2と5がそれぞれ2個 |
| 180 | 2²×3²×5 | 3を2回掛ける |
表の答えを丸暗記する必要はありません。どの数も、小さな素数で割り、商をさらに分解し、最後に素数だけを残すという同じ手順で求められます。
【つまずき対策】素数の見分け方と素因数分解を簡単にするコツ
素因数分解で時間がかかる原因の1つは、どの数で割ればよいか迷うことです。素数の見分け方と割り算の順番を押さえておくと、計算を効率よく進められます。
まず覚えたい素数の見分け方- 2で割れる数：一の位が0、2、4、6、8の数。
- 3で割れる数：各位の数字を足した結果が3の倍数になる数。例えば、123は1＋2＋3＝6なので3で割れます。
- 5で割れる数：一の位が0または5の数。
- 7などで割れる数：実際に割り算を試し、商が整数になるか確認する。
例えば、91は一の位が1なので、2や5では割れません。しかし、91÷7＝13です。91＝7×13と表せるため、91は素数ではありません。
一の位だけを見て素数だと判断するのは危険です。2、3、5で割れない数でも、7や11などで割り切れる場合があります。
大きな数では平方根までの素数を調べる素数かどうかを効率よく判断するには、調べたい数の平方根以下にある素数を試す方法が使えます。ある整数が合成数なら、その数は平方根以下の約数を少なくとも1つ持つためです。
例えば、71が素数か確認する場合、√71は約8.4です。8.4以下の素数である2、3、5、7で割り切れないため、71は素数と判断できます。
ただし、学校の基本問題では、無理に平方根を計算する必要はありません。短除法で素数を小さい順に試し、割り切れなければ次の素数へ進む方法で十分に対応できます。
間違いやすい3つのポイント- 商が素数ではないのに終了する：例えば、36を2で割って18になった段階では、18をさらに分解する必要があります。
- 1を素数として数える：1は素数ではないため、素因数分解の積には含めません。
- 素因数を並べるだけで終わる：「2、3、7」ではなく、積として「2×3×7」と表すことが必要です。
教育出版の令和7年度版教材資料では、令和4年度全国学力・学習状況調査で出題された「142を素因数分解しなさい」という問題について、正答率52.9％が紹介されています。142の答えは2×71です。この数値は2026年の学習状況を示すものではありませんが、素数を見つけるだけでなく、正しく積で表すところまで理解することの大切さを考える参考になります。
計算ミスを減らすためのチェック方法素因数分解の答えを出したら、次の3点を確認してください。
- 割り算の商が最後に1になっているか。
- 右側に書いた数がすべて素数になっているか。
- 素数をすべて掛けると、元の整数に戻るか。
この確認を習慣にすると、途中の割り算が正しくても累乗の指数を間違えた、といったミスも見つけやすくなります。
【応用問題】素因数分解で最大公約数・最小公倍数を求める
素因数分解は、整数を素数の積に直すだけの計算ではありません。複数の数の最大公約数や最小公倍数を求めるときにも役立ちます。中学数学では、素因数分解を使って整数の性質を考える問題にも取り組みます。
最大公約数は共通する素因数の指数が小さい方を選ぶ84と180を例に考えます。それぞれの素因数分解は次のとおりです。
84＝2²×3×7
180＝2²×3²×5
両方に含まれている素数は2と3です。最大公約数を求めるときは、共通する素数について、指数が小さい方を選びます。
84と180の最大公約数＝2²×3＝12
2の指数はどちらも2ですが、3の指数は84では1、180では2です。そのため、3は指数1を採用します。こうして求めた12は、84と180の両方を割り切れる最大の整数です。
最小公倍数は素因数の指数が大きい方を選ぶ最小公倍数では、2つの数に登場する素数をすべて集め、それぞれについて大きい方の指数を採用します。
84と180の最小公倍数＝2²×3²×5×7＝1,260
84の素因数にある7と、180の素因数にある5も必要です。どちらか一方の数にしか登場しない素数も忘れずに含めましょう。
最大公約数と最小公倍数の違いを整理- 最大公約数：共通する素因数だけを使い、それぞれの指数は小さい方を選ぶ。
- 最小公倍数：登場する素因数をすべて使い、それぞれの指数は大きい方を選ぶ。
この2つのルールを区別できれば、素因数分解を利用する応用問題も解きやすくなります。最大公約数では共通部分、最小公倍数では全体をカバーすることを意識すると、指数の選び間違いを防げます。
【実力チェック】素因数分解の練習問題と答え
ここまでの手順を理解できたら、実際に問題を解いてみましょう。まずは自分で素因数分解を行い、その後に答えと照らし合わせてください。
練習問題1：36を素因数分解しなさい36を2で割ると18、さらに2で割ると9です。9は3×3なので、素数だけの積に直します。
答え：36＝2²×3²
確認すると、2²×3²＝4×9＝36です。
練習問題2：70を素因数分解しなさい70は偶数なので2で割れます。70÷2＝35、35÷5＝7となり、7は素数です。
答え：70＝2×5×7
練習問題3：96を素因数分解しなさい96を2で割り続けると、48、24、12、6、3となります。最後の3も素数なので、ここで終了です。
答え：96＝2⁵×3
2で5回割ったため、2の指数は5です。2が4個の16で止めてしまうなど、指数の数え間違いに注意しましょう。
練習問題4：125を素因数分解しなさい125は5で割り切れます。125÷5＝25、25÷5＝5、5÷5＝1となります。
答え：125＝5³
5を3回掛けると125になるため、指数は3です。
練習問題5：154を素因数分解しなさい154は偶数なので、最初に2で割ります。154÷2＝77、77÷7＝11です。7と11はいずれも素数です。
答え：154＝2×7×11
最後に2×7×11＝154となることを確認しましょう。途中で77を素数と勘違いしてしまうと、正しい答えにたどり着けません。
練習問題の答えを確認するときのポイント5問を解き終えたら、単に答えが一致したかだけでなく、どこで割る数を変えたのか、素数を何個使ったのかも確認してください。特に累乗を使う問題では、同じ素数が何回登場したかを数えることが大切です。
間違えた問題は、最初から答えを写すのではなく、短除法をもう一度書いて解き直すと理解が定着します。計算の手順を自分で再現できるようになれば、数字が変わっても対応しやすくなります。
【素因数分解やり方】に関するよくある質問（FAQ）
Q1：素因数分解を簡単に解く方法はありますか？
A1：2、3、5、7などの小さな素数から順番に割る方法がおすすめです。割り切れたら同じ素数で続けて割り、割り切れなくなったら次の素数を試します。商が1になるまで続ければ、素数だけの積に整理できます。
Q2：素因数分解で1は使いますか？
A2：1は素数ではないため、素因数分解の積には含めません。例えば、12の素因数分解は2×2×3であり、1×2×2×3とは書きません。短除法の途中で商が1になるのは、計算が終了したことを示しています。
Q3：素因数分解100の答えは何ですか？
A3：100＝2×2×5×5＝2²×5²です。100を2で2回割ると25になり、その後5で2回割ると1になります。最後に2²×5²＝100と逆算すれば、答えが正しいか確認できます。
【プロの結論】素因数分解は「最後まで割る・積を確認する」が上達の近道
素因数分解のやり方を身につけるうえで、最も大切なのは複雑な公式ではなく、基本手順を正確に繰り返すことです。小さな素数から割り、商が1になるまで続け、最後に素数だけの積で表す。この流れを守れば、12や100といった基本問題から、84や180を使った最大公約数・最小公倍数の応用問題まで、同じ考え方で解けます。
計算に慣れていない人は、まず2、3、5で割れる数の特徴を覚え、短除法を丁寧に書く練習から始めましょう。計算スピードを上げたい人は、素数の見分け方と累乗の整理を意識すると効率が上がります。一方、途中式を省略してしまいがちな人は、答えだけでなく割り算の過程も残すことが大切です。
最後に、素因数分解の正誤を判断する基準は明確です。最後の商が1であること、分解した数がすべて素数であること、素数を掛けると元の整数に戻ること。この3点を確認する習慣をつければ、計算ミスを減らし、整数の性質を扱う中学数学の問題にも自信を持って取り組めるようになります。
